Петров Андрей Евгеньевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированного проектирования и дизайна, ФГБОУ высшего образования «Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» (НИТУ МИСиС)
Аннотация
Двойственность для непланарных сетей является фундаментальной проблемой, которая пока не решена. Куратовский [5] показал, что не существует графа, сети, двойственной к непланарной сети. Он показал, что есть только два таких графа, которые нельзя изобразить на плоскости без самопересечений. Это двудольный граф на шести вершинах, в котором девять ребер и полный граф на пяти вершинах, в котором десять ребер. Структуру сетей, двойственных к не планарным сетям изобразить нельзя, однако оказалось, что им соответствуют матрицы преобразования, по которым можно рассчитать отклики на воздействия. Таким образом сетей нет, но потоки в них есть, хотя они обладают странными свойствами. Поскольку двойственная сеть может (должна) располагаться в пространстве, двойственном наблюдаемому пространству, где находится заданная сеть, то непланарные сети могут оказаться местом контакта этих пространств.
Двойственной сети соответствует матрица преобразования путей, которая ортогональна к матрице преобразования исходной сети. Странность ситуации с не планарностью состоит в том, что, соединяя отдельные ветви (девять или десять) во все более сложные сети, каждый раз получается и двойственная сеть. Ее можно построить на плоскости как двойственный граф, или по матрице преобразования, ортогональной к заданной сети. Когда при соединении ветвей доходим до не планарной сети – двойственная сеть «исчезает», но при дальнейшем соединении ветвей – она опять существует.
Можно было ожидать, что раз для непланарной сети нет двойственной сети, то нет и ее матрицы преобразования путей при переходе от простейшей сети отдельных ветвей к соединенной сети. Или эта матрица имеет какие-то особенности. Оказалось, что матрица преобразования непланарной сети имеет обратную матрицу, т.е. особенностей, сингулярности, здесь нет. Транспонируя эту обратную матрицу, получим ортогональную матрицу, которая должна соответствовать матрице преобразования двойственной сети.
Теоретически, построить по этой матрице двойственную к непланарной сети нельзя. Однако при попытке построения получается, что «двойственная» сеть к двудольному графу на шести вершинах, похожа на полный граф на пяти вершинах, хотя и не до конца – одной ветви как бы не хватает. При попытке построения «двойственной» сети к полному графу на пяти вершинах получается сеть, похожая на двудольный граф на шести вершинах, хотя и не совсем – одна ветвь оказывается, как бы лишней.
Таким образом, матрица преобразования непланарной сети существует, показывая, что должна существовать и соответствующая ей сеть. По матрице преобразования двойственной сети к непланарной сети можно рассчитать матрицу решения сети, представленную метрическим тензором ее структуры, хотя нельзя явно представить ее вид. В статье рассмотрены результаты исследования структуры и процессов в сетях, двойственных к непланарным сетям, которые нельзя изобразить.
Прикладной интерес данной проблемы состоит в том, что двудольный граф на шести вершинах можно трактовать как три отрасли, производящие продукты, и соединенные поставками, т.е. этот граф входит в суть экономики, и ее модели. Сеть денежных средств двойственная к сети производства продуктов. Непланарный граф в сети потоков продуктов может порождать несоответствия, противоречия в сети потоков денег.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: непланарный граф, двойственная сеть, матрица преобразования, инвариант двойственности, закон сохранения потока энергии.
Загрузить статью НЕПЛАНАРНЫЕ ГРАФЫ, ДВОЙСТВЕННЫЕ СЕТИ, ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ПОТОКА ЭНЕРГИИ: ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА, КОТОРАЯ ПОКА НЕ РЕШЕНА
Библиографическое описание статьи:
Петров А.Е. Непланарные графы, двойственные сети, закон сохранения потока энергии: фундаментальная проблема, которая пока не решена // Сетевое научное издание «Устойчивое инновационное развитие: проектирование и управление». 2025. Т. 21, вып. 3 (68). URL: http://www.rypravlenie.ru/?p=4377
